Optional Stopping Theorem (OST)

约 423 个字 2 张图片预计阅读时间 2 分钟

定理引出¶

由于已经知道，对鞅 \(\{ Z_n\}_{n \ge 0}\) 来说，任意 \(t \in \mathbb{N}\)，有 \(E[Z_t] = E[Z_0]\)。那么，如果 \(t\) 不再是一个确定的数，而是一个随机变量 \(\tau\)，是否还有 \(E[Z_\tau] = E[Z_0]\)？（即将原本单一取值的 \(t\) 替换为一个在多个值上有分布的随机变量 \(\tau\)）

可选时停定理就提供了一些 \(E[Z_\tau] = E[Z_0]\) 成立的充分条件。

Stopping time:

也就是说，想要知道 \(\tau \le t\) 是否成立，就只需要知道前 \(t\) 个时间的信息 \(\mathcal{F}_t\) 就可以了，而不需要了解时间 \(t\) 之后的信息。

定理内容：

应用¶

Doobs martingale inequality¶

\(\{ X_t \}_{t \ge 0}\) 是一个关于自身的鞅，且对任意 \(t \ge 0\) 有 \(X_t \ge 0\)。则对任意 \(n \in \mathbb{N}\)：

\[ \mathrm{Pr}\left[\max_{0 \le t\le n} X_t \ge \alpha\right] \le \frac{E[X_0]}{\alpha} \]

证明：

记随机变量 \(\tau =\min\{ n, \min_{t \le n}\{ X_t \ge \alpha \} \}\)，则

\[ \mathrm{Pr}\left[\max_{0 \le t\le n} X_t \ge \alpha\right] = \mathrm{Pr}[X_\tau \ge \alpha] \le \frac{E[X_\tau]}{\alpha} = \frac{E[X_0]}{\alpha} \]

这里 \(E[X_\tau] = E[X_0]\) 是因为 \(\tau\) 有界，符合 OST 的条件之一。

Wald’s Equation¶

如果随机变量 \(X_1, X_2, \ldots\) 为非负、i.i.d、有相同分布 \(X\) 的，\(T\) 是它们的 stopping time，且 \(E[X], E[T] < \infty\)，那么

\[ E\left[\sum_{t=1}^{T}X_t\right] = E[T]E[X] \]

证明：构造 \(Z_t = \sum_{i=1}^{t} (X_i - E[X])\)，证明它是一个鞅并且满足 OST 的条件，就有

\[ \begin{align*} E[Z_T] &= E\left[\sum_{t=1}^{T} (X_t - E[X])\right] \\ &= E\left[\sum_{t=1}^{T}X_t\right] - E[T]E[X] \\ &= E[Z_0] = 0 \end{align*} \]

得证。