Conditional Expectation
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Notations¶
对于 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\):
- \(\sigma(S)\)，其中事件 \(S \subseteq 2 ^\Omega\)：包含 \(S\) 的最小 \(\sigma\) 代数
- 对 \(A \in \mathcal{F}\)，如果 \(\forall B \subset A \space (B \neq \emptyset), B \not\in \mathcal{F}\)，则称 \(A\) 是 minimal 的
- 任意两个不同的 minimal set 都是不交的
- 对随机变量 \(X\) 和 \(\mathcal{F}\)，若满足对任意 \(r \in \mathbb{R}\)，有 \(X^{-1}((-\infty, r)) := \{ \omega \in \Omega \mid X(w) < r \} \in \mathcal{F}\)（即事件 \(\{ X < x\} \in \mathcal{F}\)），那么称 \(X\) is measurable by \(\mathcal{F}\)
- \(\sigma(X)\)：最小的能使 \(X\) measurable 的 \(\sigma\) 代数
- 对值域为 \(\mathbb{Z} \cup\{ \infty, -\infty \}\) 的随机变量 \(X\)，\(\sigma(X)=\sigma\{\{X^{-1}(\{k\})\mid k\in \mathbb{Z}\}\cup\{X^{-1}(\{-\infty\})\}\cup\{X^{-1}(\{+\infty\})\}.\)
定义¶
对事件 \(A \in \mathcal{F}\) 满足 \(P(A) > 0\)，以及随机变量 \(X\)，
\[ E[X|A] = \sum_{a}^{}a \cdot P(X|A = a) \]
对 \(\Omega\) 的 \(\sigma\) 代数 \(\mathcal{G}\)，更进一步定义为 \(\mathcal{G} = \sigma (\{ A_k: k \in I \})\)，其中 \(\{ A_k\}\) 是 \(\Omega\) 的一个分划，\(P_{A_k} > 0\)。记 \(A(\omega)\) 为包含 \(\omega \in \Omega\) 的 \(A_k\)，则 \(E[X|\mathcal{G}]\) 是一个 \(\mathcal{G}\) measurable 随机变量，满足
\[ \forall \omega \in \Omega, \space E[X|\mathcal{G}](\omega) = E[X|A(w)] \]
对随机变量 \(Y\),
\[ E[X\mid Y] := E[X \mid \sigma(Y)] \]
同上有
\[ E[X \mid Y](\omega) = E[X \mid Y = Y(w)]= E[X\mid Y^{-1}(Y(\omega))] \]
性质¶
对 \(\sigma\) 代数 \(\mathcal{G}_1\) 和 \(\mathcal{G}_2\)，若 \(\mathcal{G}_1 \subseteq \mathcal{G}_2\)，则
\[ E[E[X \mid \mathcal{G}_1] \mid \mathcal{G}_2 ] = E[E[X \mid \mathcal{G}_2] \mid \mathcal{G}_1 ] = E[X \mid \mathcal{G}_1] \]
可以马上得到，对任意随机变量 \(Y\):
\[ E[X] = E[X \mid \{ \emptyset, \Omega\}] = E[E[X \mid \sigma (Y)] \mid \{ \emptyset, \Omega\}] = E[E[X \mid Y]] \]
- \(E[aX+bY\mid \mathcal{G}] = a E[X\mid \mathcal{G}] + b E[Y\mid \mathcal{G}]\)
- 如果 \(X\) 是 \(\mathcal{G}\) measurable 的，那么 \(E[X \mid \mathcal{G}] = X\)
- 如果 \(X\) 是 \(\mathcal{G}\) measurable 的，那么 \(E[XY \mid \mathcal{G}] = XE[Y \mid \mathcal{G}]\)