Poisson Approximation
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问题¶
奖券收集问题的推广¶
\(n\) 种奖券，对应概率 \(p_1, \ldots, p_n\), 且 \(\sum_{i=1}^{n}p_i = 1\)，求收集到所有种类的奖券的时间 \(N\) 的期望 \(E[N]\)。
可以利用泊松过程的分割来转化这个问题：
假设有一个 rate 为 1 的泊松过程，每到达一个，有 \(p_j\) 的概率是第 \(j\) 种奖券。记 \(N_j\) 为第 \(j\) 种奖券第一次到达的最少次数，那么 \(N = \max _{1 \le j \le n} N_j\)。
又记 \(X_j(t)\) 为 \([0,t]\) 时间内到达的第 \(j\) 种奖券的个数，那么 \(\{X_j(t)\}\) 互为独立的泊松过程。再记 \(T_j = \min\left\{ t \mid X_j(t) = 1 \right\}\)，\(T = \max_{j \in [n]}T_j\)。
定理¶
定理 1¶
- 若 \(X\) 离散且 \(X \in \mathbb{N}\)，那么 \(E[X]=\sum_{t=1}^{\infty}\mathrm{Pr}[X \ge t]\)
- 若 \(X\) 连续，则 \(E[X] = \int_{0}^{\infty}\mathrm{Pr}[X \ge t]\mathrm{dt}\)
通过交换求和/积分顺序易证。
Wald's Equation¶
记 \(X_1, X_2, \ldots\) 为 \(n\) 个独立同分布的随机变量，满足 \(E[|X_1|] < \infty\)，\(T\) 为 stopping time，满足 \(E[T] < \infty\)，那么有：
\[ E\left[\sum_{t=1}^{T}X_t\right] = E[T]E[X_1] \]
结果¶
由定理 1 可以得到，
\[ \begin{align*} E[T] &= \int_{0}^{\infty}\mathrm{Pr}[T \ge t]\mathrm{dt} = \int_{0}^{\infty}1 - \mathrm{Pr}[T < t] \mathrm{dt} \\ &= \int_{0}^{\infty}1 - \Pi_{j=1}^{n}\mathrm{Pr}[T_j < t] \mathrm{dt} \\ &= \int_{0}^{\infty}1 - \Pi_{j=1}^{n}\left(1 - e^{-p_jt}\right) \mathrm{dt} \end{align*} \]
记 \(\tau _i\) 为第 \(i\) 和 \(i-1\) 张奖券到达的时间差，则
\[ E[T] = E\left[\sum_{j=1}^{N}\tau _j\right] = E[N]E[\tau _1] \]
最终可以得到
\[ E[N] = \int_{0}^{\infty}1 - \Pi_{j=1}^n(1 - e^{-p_jt})\mathrm{dt} \]
总结¶
对于“投球入盒”的问题，可以尝试使用泊松过程来转换思路。